Bølger og bølgetryk

Små bølger, store bølger, dybt vand, fladt vand, 1’ orden, 2’ orden, fremadskridende og stående bølger, teori for sinus bølger og cnoidale bølger på vilkårlig vanddybde.

Niels Mejlhede Jensen, Bøgeløvsvej 4, 2830 Virum. jensen@dadlnet.dk, www.mejlhede.dk

English

Afhandling fra 1977, 12 kapitler som 12 PDF filer: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Til www 2011 med denne oversigt:

Når bølger af moderat højde ude fra havet regelmæssigt ruller ind mod en kajvæg eller en mole med lodrette sider (vertikalmole) så vil vandet ved væggen hæve og sænke sig, stå og svinge regelmæssigt op og ned, svinge som en simpel sinus-funktion. Hastigheden op og ned af vandet i overfladen fås da umiddelbart ved at differentiere denne sinusfunktion og accelerationen ved at differentiere endnu en gang, til simple cosinus- og sinus-udtryk som beskrevet i ch.I i min afhandling fra 1977. Fx er den lodrette acceleration af det overliggende vand af mærkbar betydning for bølgetrykket på væggen.

Airy's simple bølgeteori giver her mere komplicerede udtryk for overfladens hastighed og acceleration. Airy's klassiske bølgeteori af 1' orden er udmærket og meget anvendt og giver en tilnærmet beskrivelse af hele bølgen, der ofte er forbavsende god for selv store bølger, selv om teorien forudsætter små bølger. Men der kan således fås de her påpegede afvigelser i numeriske resultater når man i en teori af 1' orden udvikler efter forskellige retningslinier.

Disse afvigelser i 1' ordens udtryk fra to lidt forskellige teorier er for praktiske eksempler vist grafisk for bølgetryk på lodret væg side 89 i ch.V i min 1977 afhandling, hvor en ligefrem benyttelse af overfladebetingelsen for lodret acceleration ses at give et mærkbart mindre bølgetryk end Airy teorien. For fremadskridende bølger ses tilsvarende forskelle side 42 og 44 for bølgetryk og for vandret hastighed side 45 i ch.II. Bølgetryk på den lodrette væg ved afhandlingens 1' ordens teori er vist i eksemplet på side 57 ch.III at være i god overensstemmelse med modelforsøg og benyttede teorier af højere orden. På side 98 og 99 ch.V er der sammenlignet med modelforsøg jeg udførte i 1968 på DTU. Der ses at være god overensstemmelse for bølgetryk fra bølgetop, mens 1' ordens teoriens bølgesug fra bølgedal er for stor for høje lange bølger. Det skyldes at høje lange bølger (med stor H/D) har en høj kort top og en lang ikke så dyb dal. At bølgedalen ikke er så dyb betyder at suget bliver mindre. Til gengæld er toppen højere men da toppen er kort får vandet en øget lodret negativ acceleration som mindsker det tryk som den højere top ellers ville give.

Disse bølger med høj top og lang flad dal fremgår af teorien for cnoidale bølger, en klassisk teori for fladvandsbølger, men som jeg har udvidet til at gælde som 2' ordens teori for bølger helt til dybt vand. cnoi-funktionen er Jacobis elliptiske cosinus, cn, som er velegnet til at give en variabel høj kort top og lang flad dal som det netop fremgår af observationer af regelmæssige bølger i naturen og i laboratoriet.

I ch.VI er den cnoidale fremadskridende bølge på uendeligt dybt vand beskrevet med en oversigt på side 138 over de vigtigste formler. Fx for bølgestejlheden H/L = 0,14 fås at bølgetop er 0,6H og dal 0,4H og det samme fås for de andre 2 ordens bølger der er beskrevet her i ch.VI, se side 129 og 139 ch.VI med bølgeprofiler. Bølgetryk i vandet under top og dal er vist på side 120 og 121 ch.VI for dels den cnoidale bølge og dels 1' ordens bølgen. Side 120 kan sammenlignes med Airy bølgen side 44 ch.II. Når denne cnoidale bølge rammer en lodret væg og bliver til en stående cnoidal bølge bliver bølgetrykket mere specielt.

Den stående cnoidale regelmæssige bølge på uendeligt dybt vand beskrives ved et "cnoi-produkt" af tid og sted i ch.XII, med oversigt over de vigtigste formler på side 317. (Når en fremadskridende cnoidal bølge på mindre dybt vand kommer ind mod en lodret væg vil den ikke nødvendigvis bevirke at der kommer en sådan normal stående cnoidal bølge). For bølgestejlheden H/L = 0,14 fås igen at bølgetop når op på 0,6H. Bølgeprofilets tidsmæssige forløb er vist på side 313 for H/L = 0,18. Bølgetrykket på den lodrette væg er vist på side 314 og 316 og 318 ch.XII. Vi ser at det maksimale positive tryk for det meste ikke optræder samtidigt med at der er bølgetop ved væggen, men op til 1/4 periode før og efter. Det skyldes indvirkning af vandets lodrette acceleration.

Side 58 og side 61 ch.III er vist tryk på lodret væg fra Stokes 2' ordens bølge hvor man (DTU 1973) foreslår at benytte hydrostatisk tryk over middelvand og Stokes trykformel under. Det er ganske vist matematisk korrekt i en 2' ordens bølgeteori. Men denne negligering af den store lodrette acceleration i bølgetoppen giver et spring i bølgetryk ved middelvand på op til 100% for stejle bølger.

Den simple 1' ordens regelmæssige sinusoidale bølge er udledt i ch.II og ch.IV for fremadskridende bølger og i ch.V for stående bølger. På side 49 ch.II er på en skematisk oversigt vist den benyttede fremgangsmåde til at løse en bølgeopgave: den vandrette trykgradient bestemmes på 2 forskellige måder: dels direkte fra den vandrette vandhastighed og dels fra den lodrette vandhastighed. Dermed fås en bølgeligning med led der alle direkte beskriver fysiske forhold i vandet og kan vurderes matematisk eller numerisk.

Alle eksempler på bølger i afhandlingen er teoretisk korrekte af 1' orden, (inklusive 2' ordens bølgeeksemplerne). På side 75 ch.IV er fx vist vandret hastighed u efter 3 forskellige bølgeteorier som alle 3 matematisk opfylder bølgeteorien indenfor 1' ordens nøjagtighed, dvs. alle 1' ordens led er medtaget. Den cnoidale bølge inkluderer så desuden alle led af 2' orden, men derfor er den stadigvæk en matematisk korrekt bølgeteori også af 1' orden. Og selv om den inkluderede enkelte led af 3' og højere orden ville den stadigvæk være en bølgeteori korrekt af både 1' og 2' orden. Det er forskelligt hvilke 2' ordens led og højere ordens led bølgeteorier af 1' orden inkluderer, så derfor fås de viste forskelle i numeriske resultater. Man bør vælge at medtage netop de højere ordens led som passer bedst til et bestemt formål, fx lodret acceleration ved den lodrette væg ud fra grænsebetingelsen ved vandoverfladen. I en 2' ordens teori skal man have alle 2' ordens led med, og desuden kan man vælge at have nogle 3' ordens og højere ordens led med.

Den cnoidale bølge på vilkårlig vanddybde i afhandlingen er en bølge af 2' orden. Til den kan det evt. undertiden være aktuelt at vælge at benytte den bølgehastighed man får af 3' ordens sinusoidale bølgeteorien i ch.XI. Det er korrekt i en 2' ordens teori, men bølgen er stadigvæk kun af 2' orden. Tilsvarende kan man vælge at forbedre sin 1' ordens bølgeværdi ved at benytte det cnoidale bølgeprofil med høj kort top og lang flad mindre dyb dal og så heri på hensigtsmæssig vis nøjes med at benytte 1' ordens udtryk for fx hastighedsfordeling og trykfordeling. Dermed er det så ikke en 2' ordens bølge, men en af de mulige 1' ordens bølger.