Teoretisk beregning af den maksimale
kraft når en bølge fra havet rammer en lodret væg i en mole.
Niels Mejlhede Jensen,
Bøgeløvsvej 4, 2830 Virum.
jensen@dadlnet.dk,
www.mejlhede.dk
Beregning fra
1971 i PDF-gengivelse
Lagt ud på www i 2011 med
denne indledende oversigt:
Når en bølge ude fra havet ruller ind mod en
kyst med lodret væg eller ind mod en lodret havnemole kan der undertiden komme
et voldsomt stød. Denne voldsomme kortvarige kraft på væggen som vi kalder et
stødtryk skal væggen og molen dimensioneres til at kunne modstå. I min afhandling
fra 1971 har jeg givet en teoretisk beregning af det maksimale tryk fra en
bølge der rammer en lodret væg.
Sædvanligvis når der ude fra havet kommer en
bølge fx med en bølgehøjde Hi = 1 m, en "normal" bølge med ens udseende
på for- og bagside, og den kommer vinkelret ind mod en lodret væg, så vil
bølgen stoppe op ved den lodrette væg og stå stille et øjeblik med en
bølgehøjde der er ca. dobbelt så høj, altså stående bølgehøjde Hs = ca. 2 m,
inden bølgen reflekteres og ruller til havs igen i en eller anden form. Hvis
der helt regelmæssigt fx hvert 10' sekund kommer ens bølger med Hi = 1m
vinkelret ind mod væggen vil der i hele området foran væggen opstå et mønster
af stående bølger med Hs = 2 m. Vandet ved væggen bevæger sig op og ned og på
væggen kommer der et bølgetryk bestemt af vandspejlets højde og vandspejlets
lodrette acceleration og vandets accelerationsfordeling ned langs molevæggen.
(Dette emne med regelmæssige bølger og bølgetryk på den lodrette væg og vertikalmole
er behandlet i min afhandling fra 1977).
Hvis bølgerne kommer mere uregelmæssigt, fx
således at en stor indkommende bølge når betonvæggen umiddelbart efter at den
foregående bølge reflekteres fra væggen vil denne store bølge kunne
"vælte" og ligesom en lodret væg af vand styrte ind mod betonvæggen.
Hvis den brydende bølgetop når væggen først og
dermed når at indeslutte store luftlommer vil disse luftlommer "som bløde
puder" afbøde noget af stødet idet luften trykkes sammen, i et såkaldt
kompressionsstød (compression shock).
Hvis også bølgetoppen følger den lodrette
vandfront så luften kan undslippe gennem spalten foroven i et ventileret stød
(ventilated shock) vil vi kunne få et mere kraftigt stød, et stød som man har
ment kunne blive så kraftigt at det kun var bestemt af betonvæggens og vandets
elasticitet. Men i den situation hvor en homogen lodret vandvæg støder ind i en
tæt lodret betonvæg skal den mellemliggende luft presses ud af spalten og det
giver en reaktionskraft fra luften som vil forlænge og afbøde stødet til en
væsentligt mindre maksimalværdi som det fremgår af min teoretiske beregning og
som i det følgende er gengivet fra min afhandling fra 1971.
Eksempel
Vi har en havnemole på 10 m vanddybde, en
vertikalmole med lodrette sider. Bølger ude fra havet rammer vinkelret ind på
molen og undertiden bryder store bølger netop ved molen. Vi betragter her en
indkommende bølge som vælter netop foran væggen så en lodret vandfront rammer
ind i den lodrette væg og giver et stødtryk.
Den lodrette vandfront har en højde på R = 1 m
og en vandret hastighed på U = 3 m/sek.
På figur 3 med grafen (før side 1) aflæser vi så
på øverste kurve (for vand uden luftbobler):
P/U2 = 3,2 dvs. P = 3,2 x 3x3 = 29 m vandsøjle
eller ca. 30 m (= 30 MP/m2 = 300 kN/m2).
Stødtrykket vokser op og aftager over ca. 1/100
sek (formel 49). Når vandfronten er 10 mm fra væggen er trykket (i luftspalten
og på væggen) på 10 m vandsøjle = 1 atmosfæres overtryk (11).
Beregningerne er baseret på en tilnærmet teori:
Mellem den lodrette væg og den lodrette
vandfront er der en smal luftspalte som luften klemmes lodret ud af (fig. 1).
Den udstrømmende luft giver en reaktionskraft hvorved lufttrykket i spalten øges
(4) og (5). Jeg benytter en beregningsmodel hvor luften regnes usammentrykkelig
i den første del af stødtrykket, indtil 1 atmosfæres overtryk = 10 vs. Derefter
regner jeg luften sammentrykkelig efter formlen for isotermisk sammentrykning
som en praktisk løsning på kombinationen af adiabatisk sammentrykning og en
fortsat luftudstrømning.
I stødtrykket er involveret en hydrodynamisk
masse Sm = 0,45R = ca. 0,5 m (23) som kommer med hastigheden U og bremses op af
stødtrykket på væggen. Når trykket har nået 10 m vs er den hydrodynamiske masse
bremset med ca. 0,65 m/sek (25), hvorefter luften i spalten sammentrykkes. Det
stigende lufttryk i spalten forplanter sig til vandet og skaber en lodret
vandhastighed (26). Det vand der klemmes opad betyder at bagsiden af den
hydrodynamiske masse kan have lidt større vandret hastighed end den opbremsede
forside så front er bremset 0,85 m/sek og bagside 0,45 m/sek (27) og (29) ved
tryk = 10 m vs.
Herefter trykker den hydrodynamiske masse luftspalten
sammen og i (30) er benyttet at kinetisk energi fra den vandrette hastighed er
lig med energien fra isotermisk sammentrykning af luftspalten. Hermed kunne vi
finde hvor smal spalten bliver, delta-min, til indsættelse i formlen for tryk
pm (p-stjerne) (12) for at finde max stødtryk. Men for igen at tage hensyn til
genereret lodret vandhastighed i den hydrodynamiske masse og dermed lidt mindre
opbremsning (35) og (37), skiftes fra energiligning (30) til impulsligning
(32). Det giver formel (38) til bestemmelse af delta-min hvorved stødtrykket
bestemmes af (39), som givet i grafen på nævnte figur 3.
Luften ventileres således ikke ud af luftspalten
uden at efterlade en reaktionskraft der opbløder stødtrykket, og vandet i
bølgetoppen er ikke at betragte som en lang fast masse (stang) der rammer
væggen i et hammerstød bestemt af vandets elasticitet. Det er kun en
forholdsvis lille hydrodynamisk masse der giver selve stødtrykket. Stødtrykket i dette eksempel kunne regnes at
komme fra en stor indkommende tilnærmet enkeltbølge med bølgehøjden Hi = 6 m,
som vil kunne bryde ved væggen med en vandret vandhastighed på 3 - 6 m /sek.
Bølgetoppen går ca. 30 m ud fra væggen, men det er så kun ca. 0,5 m
hydrodynamisk masse der giver selve stødtrykket. Resten af bølgen bliver til en
uregelmæssig form for stående bølge med en maksimalhøjde på måske ca. 13 m.
Den hydrodynamiske masse er beregnet tilnærmet.
Stødtrykket giver vandet en opbremsning der er stor ved vandfronten og mindre
længere ude, altså med en vandret acceleration der aftager fra vandfronten og
ud, og vi antager at accelerationen tilnærmet aftager parabolsk som vist på
fig. 2. Den samlede vandrette acceleration bestemmes af den vandrette dynamiske
ligning (18). I luftspalten fås en trykfordeling med stigende lufttryk ned
gennem spalten. Denne lodrette trykfordeling har vi også inde i vandet ved
vandfronten (14). Gennem kontinuitetsligningen får vi dermed et tilnærmet
udtryk til brug i vandret acceleration (16) og (17), der giver tangenten til
grafen for vandret acceleration. Denne aftagende vandrette acceleration samles
så til en konstant acceleration over en kortere længde: en såkaldt
hydrodynamisk masse (22) og (23).
Ved modelforsøg er bølger og molekonstruktioner
fx nedskaleret til 1:10 størrelse eller mindre medens luftrykket i atmosfæren
er uændret 1 atm, så modelforsøg betragtes separat her i min afhandling fra
1971. Desuden er der en betragtning af indflydelsen af luftbobler i vandet.
Beregning fra
1971 i PDF-gengivelse